线性代数-常见矩阵

线性代数参考文档

https://zh.d2l.ai/chapter_preliminaries/linear-algebra.html#id5

https://machine-learning-from-scratch.readthedocs.io/zh-cn/latest/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0.html

单元矩阵

单位矩阵（Identity matrix），也称为恒等矩阵（Identity matrix）或标准矩阵（unit matrix），是一种特殊的方阵，其主对角线上的元素全为1，其余元素全为0。单位矩阵通常用字母 "I" 或 "E" 表示，其大小由行数（或列数）决定。单位矩阵在矩阵运算中具有类似于数字中的 1 的作用。

3阶单位矩阵示例如下： \[ \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \]

满轶矩阵

若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关；所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。

对称矩阵

在线性代数中，对称矩阵（英语：symmetric matrix）指转置矩阵和自身相等方形矩阵。 \[ A^T=A \] 对称矩阵中的右上至左下方向元素以主对角线（左上至右下）为轴进行对称。若将其写作，则对所有的i和j，

对称矩阵示例： \[ \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -5 \\ 3 & -5 & 6 \end{matrix} \right] \]

正定矩阵

参考 https://basics.sjtu.edu.cn/~yangqizhe/pdf/la2024s/slides/LALec13-handout-zh.pdf

• 广义定义

  • 设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有 z'Mz > 0，其中z' 表示z的转置，就称M正定矩阵。 例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

• 狭义定义

  • 一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z'Mz> 0。其中z'表示z的转置。

  一个对称矩阵 S 被称为是正定矩阵，如果其所有的特征值 λ 都满足 λ > 0。

矩阵变换

在线性代数中，矩阵的初等行变换是指以下三种变换类型 ：

1. 交换矩阵的两行（对调i,j，两行记为r_i，r_j）；

2. 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为r_i × k）；

3. 把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为r_i + k × r_j)。 \[ A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{matrix} \\ \right] ，经过矩阵初等变换后，矩阵A可以转换成右侧形式， B=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{matrix} \\ \right] \]