线性代数-01-行列式的基本概念与计算

一、行列式的本质定义(定义一)

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二、行列式的性质

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三、行列式的逆序数定义(定义二)

排列与逆序

排列：由n个数 1, 2, ..., n 组成的一个有序数组称为一个n级排列，如23145是一个5级排列，34521也是一5级排列。显然，由这样的n个数组成的n级排列一共有n!个。

逆序：在一个n级排列i₁, i₂, ..., i_n中，若i_s>i_t，且i_s排在i_t的前面，则称这两个数构成一个逆序。

逆序数：一个排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记作τ(i₁, i₂, ..., i_n)，如τ(23145)=，τ(34521)=。 由从小到大排的排列称为自然排序，如12345，显然自然排序的逆序数为0。

• 求逆序数方法
  • 当我们计算一个排列的逆序数时，最好从最后一个数开始往前计算：如计算τ(23145)时，
  • 先看最后一个数5，数列中在5前面且比5大的数有0个；
  • 再看倒数第2个数4，数列中在4前面且比4大的数有0个；
  • 再看倒数第3个数1，数列中在1前面且比1大的数有2个；
  • 再看倒数第4个数3，数列中在3前面且比3大的数有0个；
  • 再看倒数第5个数2，数列中在3前面且比2大的数有0个；
  • 所以，综上所述，τ(23145)=0+0+2+0+0=2

奇排列与偶排列：排列的逆序数为奇数时，该排列称为奇排列；排列的逆序数为偶数时，该排列称为偶排列；

n阶行列式的定义

n(n≥2)阶行列式，总是由n*n个元素组成： \[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} =\sum_{j_1j_2...j_n}^{}(-1)^{τ(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n} \]

\[ \begin{aligned} \text{行列式举例：}\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{vmatrix} &=(-1)^{τ(12)}a_{11}a_{12}+(-1)^{τ(21)}a_{21}a_{22}\\ &=a_{11}a_{12}-a_{21}a_{22}\\ \end{aligned} \]