线性代数-09-二次型
一、二次型的定义及其矩阵表达式
\[ \text{二项式定理：}\\ (a+b)^n=\sum_{i = 0}^{n} C_n^ia^ib^{n-i}=\sum_{i = 0}^{n} C_n^ia^{n-i}b^i \]
n元变量x1,x2,...,xn的二次齐次多项式（其中二次的意思是：每一项中所有变量的指数之和为2；齐次的意思是：指多项式中所有项的次数相同，对于二次齐次多项式，所有项的次数必须均为2）： $$ \[\begin{aligned} f(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+...+2a_{1n}x_1x_n\\ +a_{22}x_2^2\,\,\,\,\,\,\,\,\, +...+2a_{2n}x_2x_n\\ +...\quad\quad\quad\quad\quad \\ +a_{nn}x_{nn}^2\\\\ \text{以上表达式称为n元二次型，简称二次型。} \end{aligned}\]$$ 一般情况下（中国大陆考研、常规科研），我们只研究系数aij∈R 的情况，称此二次型f为实二次型。
因为xixj=xjxi，此时若令aij=aji（很容易让我们想到对称矩阵），则有2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，这样上述二次型表达式可表述如下： \[ \begin{aligned} f(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+...+2a_{1n}x_1x_n\\ +a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+...+2a_{2n}x_2x_n\\ +...\quad\quad\quad\quad\quad \\ +a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+...+a_{nn}x_{nn}^2 \quad①\\ =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_iX_j\quad②\\ \text{其中①式称为完全展开式，②称为和式。} \end{aligned} \\ \]
\[ \begin{aligned} & \text{若令}\\ & A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix},x=\begin{vmatrix} & x_1 \\ & x_2 \\ & \vdots \\ & x_n \\ \end{vmatrix}\\ & \text{则二次型即①或②可表述如下：}\\ & f(x)=\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{x} \quad③\\ & \text{其中③式称为二次型}f(x_1,x_2,...,x_n)\text{的矩阵表达式，实对阵矩阵}\mathbf{A}称为二次型f(\mathbf{x})\text{的矩阵} \\ & \text{它是一个唯一的对称矩阵。如果不限制为实对称矩阵，则这样的矩阵可能有多个} \end{aligned} \]
$$ \[\begin{aligned} & \text{举例：写出三元二次齐次多项式即如下三元二次型}\\ & f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3+2x_1x_3的二次型矩阵A \\\\ & 方法1：A的对角线元素a_{ii}是平方项x_{ii}^2的系统，a_{ij}是混合项x_ix_j的系数的一半\\ & 故：A=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{vmatrix} \\\\ & 方法2：利用矩阵乘法按照x^TAx的形式将二次型f表达出来，即可得到矩阵A。\\ & 显然，方法2更加繁琐，方法1 更加简便 \end{aligned}\]$$
二、合同变换，二次型的合同酷标准形与规范形
线性变换的定义
$$ \[\begin{aligned} \text{对于n元二次型}f(x_1,x_2,...,x_n)，若令\\ \begin{cases} x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+...+c_{1n}y_n \\ x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+...+c_{2n}y_n \\ \ldots \\ x_n=c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+...+c_{nn}y_n \\ \end{cases} \\\\ \text{记} \\ \mathbf{x}=\left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{matrix} \right], \mathbf{C}=\left[\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \ddots & & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \\ \end{matrix} \right], \mathbf{y}=\left[\begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \\ \end{matrix} \right] \end{aligned}\]$$
\[ \begin{aligned} \text{则上述大括号整体表述的表达式可写为：}\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y} \end{aligned} \]
上式称为从y1,y2,...,yn到x1,x2,...,xn的线性变换。若线性变换的系数矩阵C可逆，即|C|≠0，则称为可逆线性变换。
若有二次型f(x)=xTAx，又x=Cy，则有： \[ \begin{aligned} & f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}=\mathbf{(Cy)}^TA\mathbf{(Cy)}=\mathbf{y}^T(\mathbf{C}^T\mathbf{A}\mathbf{C})\mathbf{y} \\ & \text{记}\mathbf{B}=\mathbf{C}^T\mathbf{A}\mathbf{C}，则有：\\ & f(\mathbf{x})=\mathbf{y}^T\mathbf{B}\mathbf{y} = g(\mathbf{y}) ，\text{二次型从矩阵x的函数变成矩阵y的函数。}\\ & 此时，二次型f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}通过线性变换\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}得到一个新二次型g(\mathbf{y})=\mathbf{y}^TB\mathbf{y} \end{aligned} \]
矩阵合同的定义与性质
可以看到二次型f(x)与g(x)的矩阵A与B有如下关系： \[ \begin{aligned} \mathbf{B}=\mathbf{C}^T\mathbf{A}\mathbf{C} \end{aligned} \] 矩阵合同的定义：设A、B为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C使得： \[ \begin{aligned} & \mathbf{C}^T\mathbf{A}\mathbf{C}=\mathbf{B} \end{aligned} \] 则称矩阵A与矩阵B合同，记作（其实教科书中合同符号是横置s下面加一个横线，但这个符号在markdown公式中书写不出来，暂用如下符号表示）： \[ \begin{aligned} & \mathbf{A}\cong\mathbf{B} \\ & \text{或者，我看到还有些书中或网上文章中用如下符号表示：}\\ & A \sim_c B \end{aligned} \] 此时，称f(x)与g(x)为合同二次型。
可知，在二次型中，矩阵A与矩阵B的合同，就是指同一个二次型在可逆线性变换下的两个不同状态的联系。 \[ \begin{aligned} & \text{合同有如下3个性质：} \\ & (1)\mathbf{A}\cong\mathbf{A} ，称为反身性\\ & (2)若\mathbf{A}\cong\mathbf{B}，则\mathbf{B}\cong\mathbf{A} ，称为对称性\\ & (3)若\mathbf{A}\cong\mathbf{B}，且\mathbf{B}\cong\mathbf{C}，则\mathbf{A}\cong\mathbf{C} ，称为传递性\\ \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} & 注：关于可逆矩阵的两个性质：\\ & (1)对于任意可逆矩阵\mathbf{C}，有(\mathbf{C}^{-1})^\mathrm{T}=(\mathbf{C}^\mathrm{T})^{-1} \\\\ & (2)可逆线性变换不会改变二次型的轶。即对于矩阵\mathbf{A}，若\mathbf{Q}可逆，则有r(\mathbf{Q}\mathbf{A})=r(\mathbf{A}\mathbf{Q})=r(\mathbf{A})\\ & 证明如下：\\ & 设\mathbf{A}是m×n矩阵，\mathbf{P}与\mathbf{Q}分别是m阶可逆方阵、n阶可逆方阵。\\ & 故有r(\mathbf{A})=r(\mathbf{P}^{-1}\mathbf{P}\mathbf{A})≤r(\mathbf{P}\mathbf{A})≤r(\mathbf{A})，即有 r(\mathbf{A})≤r(\mathbf{P}\mathbf{A})≤r(\mathbf{A})\\ & 故：r(\mathbf{P}\mathbf{A})=r(\mathbf{A})\\ & 同理，有r(\mathbf{A})≤r(\mathbf{A}\mathbf{Q})≤r(\mathbf{A})\\ & 故：r(\mathbf{A}\mathbf{Q})=r(\mathbf{A})\\ \end{aligned} \]